Monday, March 19, 2012

La geometría de las operaciones vectoriales



Un vector está caracterizo completamente por su magnitud y su dirección.
Por ejemplo: 20 km al sur. Aquí 20 kilómetros es la magnitud y se acompaña de la dirección, es decir, hacia el sur.
También puede estar muy bien representado por un segmento de recta dirigido. Es por esta razón que un segmento de recta dirigidotambiénpuede ser llamado vector.
Existe una gran cantidad de operacionesque pueden ser aplicadas sobre los vectores.
La operación más comúnmente realizada en los vectores es la suma ymultiplicaciónde vectores.
Entre la variedad de operaciones, se incluyen la adición de dos vectores, la resta de dos vectores, el producto escalar y cruz de dos vectores, los cuales se pueden realizar en los vectores, el producto escalar y el cruz, guardan mayor importancia.
El producto interno o escalar de dos vectores  y  inclinado en un ángulo  es ab cos .
En consecuencia,  .  = |  | | | cos   = ab cos  .
Estos productos escalares y de cruz también pueden interpretarse geométricamente:
De acuerdo con esto, el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de cualquiera de los vectores y la proyección del otro en su dirección.
Sea  =  ,  =  y el ángulo BOA = 
Por definición,  .  = ab cos 
Donde a = |  | = OA
B = |  | = OB
Desde B, dibujamos BL OA y desde A, dibujamos AM OB.
Por tanto, OL = Proyección de OB en OA
= Proyección de b en a
O Bcos? 0
= b cos 0
OM = Proyección de OA en OB
= Proyección de a en b
= OA cos 0 = a cos 0
Ahora bien, a . b = abcos 0
= a (b cos 0 )
= OA (Proyección de OB en OA)
= | | (Proyección de en la dirección de )
Nuevamente . = ab cos = b(a cos )
= OB (Proyección de OA en OB)
= | | (Proyección de en la dirección de )
Hay ciertas cosas que son dignas de mencionar en esta interpretación geométrica del producto escalar: 1). Proyección de en la dirección de = = . = a^. .
a
2). Proyección de en la dirección de = = = b^. .
El producto vectorial de dos vectores y inclinado en un ángulo \ theta es un vector cuya magnitud es ab sin y la dirección es perpendicular al plano y .
Al igual que el producto escalar, el producto vectorial también puede ser visto geométricamente como:
Sea = , =
| x | = ab sin
= 2 (1/2 ab sin )
= 2 área de triángulo ABD
= áreadel paralelogramo ABCD cuyos lados adyacentes son y .
Por tanto, x = es el vector área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son y .
De hecho, x es el vector área de la cara del paralelogramo que mira hacia el observador en la figura.
Algunos de los puntos que requieren especial atención son:
1). El área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son representados por los vectores y es | x |.
2). El área del triángulo cuyos dos lados adyacentes están representados por los vectores y es ½ | x |

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