Monday, March 19, 2012

Ecuaciones de rectas y planos



Un vector es una cantidad que tiene tanto dirección como magnitud.
Como una recta tiene magnitud en la forma de su longitud y su dirección, es decir, que tiene un punto de partida y un punto de llegada, puede ser representada en forma de vector.
La ecuación vectorial de una recta se escribe con la ayuda de dos componentes: un vector de posición y un vector de dirección.
El vector posición habla acerca de la longitud y la orientación de la recta mientras que el vector dirección habla de su dirección.
Ecuación de la recta:
La ecuación general de una recta en su forma vectorial es r=a + λ (b-a), donde a y b son los vectores posición de los puntos A y B unidos por la recta.
Ecuación de la recta en forma paramétrica: Cualquier recta paralela a un vector distinto de cero se define por (a, b, c) y que pase por un punto (x0,y0,z0) tiene su ecuación en forma paramétrica de la siguiente manera-
x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct
Estas ecuaciones pueden ayudarnos a encontrar una recta que pase por un punto dado y que sea paralela a un vector dado, como se explica en el ejemplo 1.
Ejemplo 1:Encuentre la recta que pasa por el punto (1,−3, 2) y que es paralela al vector v= (4, 2,−5).
Solución: x=x0+at → x= 1+4t
y=y0+bt → y= −3+2t
z=z0+ct → z= 2–5t
Además, si necesitamos encontrar una recta que pase por dos puntos, podemos primero encontrar el vector paralelo a esa recta y buscar la recta que pase través de cualquiera de los dos puntos dados como se explica en el ejemplo 2.
Ejemplo 2: Encuentra la recta que pasa por (2,3,4) y (4,3,6). Solución: El vector desplazamiento, v, a través de los puntos dados puede ser escrito como
v= (4–2, 3–3, 6–4)
 Esto es, v=(2, 0, 2)
Ahora bien, para encontrar una recta paralela a este vector, podemos observar las ecuaciones descritas anteriormente-
x= 2+2t
  y= 3+0t
  z= 4+2t.
Ecuación del plano:
Considere un punto P0 (x0,y0,z0) que yace sobre el plano. Además,  sea el punto P(x, y, z) cualquier punto en el plano y sea el vector (a, b, c) perpendicular al plano. 
Sea y vectores posiciónde P0 y P, respectivamente.
Entonces el vector -r yacerá en el plano dado y cualquier recta en el plano será perpendicular a .
Entonces, ∙ ( - )=0.Esta es la ecuación vectorial del plano.
Ahora, vamos a trabajar con algunos ejemplos para ver las ecuaciones de los planos dados en condiciones dadas.
Ejemplo 3: Encontrar la ecuación del plano que pasa a través de P (3,2,5), Q (2, −3,1) y R (1,3, −5).
Solución: Para encontrar la ecuación del plano, primero debemos encontrar los vectores que yacen en el plano.
Los dos vectores que definitivamente se encuentran en el plano son PQ y QR
PQ= (−1,−2,−4) y  QR= (−1,6,−4)
Entonces estos vectores estarán en el plano. El producto vectorial de estos dos vectores será ortogonal a ambos vectores y por lo tanto, al plano.
n = PQ x OR
Ahora, la ecuación del plano puede encontrarse utilizando cualquier punto de los tres puntos dados. Consideremosel punto P (3,2,5), entonces,
La ecuación del plano es 32 (x-3) −8 (y-5). En la simplificación, producirá 32x-8y = 56. Esta ecuación puede ser verificada para otros puntos en el plano también.

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