Monday, March 19, 2012

Derivada de una función dada paramétricamente



Existe una relación paramétrica entre dos ecuaciones cuando ambas actúan como función del mismo valor.
Un gráfico puede ser trazado para estas ecuaciones, el cual forma una curva que no es descrita con respecto a su función directamente, sino a través de alguna otra variable común entre ambas relaciones, y esta podría ser una curva que se trace sobre su propio recorrido.
Tales funciones de la curva formanuna parte integral del vector cálculo.
La funciónparamétrica puede ser representada de la manera siguiente:
x = f (t), y = g (t)
Es posible observar que no existe una relación directa entre x e y, pero que si están relacionadas a través de otra variable, t.
Esta t es llamada el ‘parámetro’. En otras palabras, una ecuación paramétrica es una ecuación que se basa en una variable en particular.
Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como representación paramétrica y tales funciones se llaman funciones en su forma paramétrica.
La función de una curva es escrita en forma paramétrica en caso de que la curva no pueda ser escrita en forma de una sola ecuación.
Estas funciones paramétricas en la física son definidas con el fin de reflejar el cambio de posición de un objeto en particular usando el tiempo como referencia.
Es a veces necesario encontrar la razón de cambio de una función paramétrica.
Para calcular la derivada, debemos diferenciarla con la ayuda de una regla determinada. Conocemos que y con respecto a t, mostrará la siguiente relación
dy/dt = (dy/dx) . (dx/dt)
dy/dx = (dy/dt) . dx/dt
En ambos casos, dx/dt no debe igualarse a 0.
El concepto anterior se conoce como regla de la cadena.
En los lugares donde las derivadas se calculan directamente, es decir, donde no existe una fórmula directa para el cálculo de derivadas, la regla de la cadena puede aplicarse con el fin de hacer el cálculo más fácil.
Vamos ahora a entender mejor la aplicación de la regla de la cadena, así como el concepto de diferenciación de las funciones paramétricas con un ejemplo.
Encontremos la ecuación de la recta tangente en un valor dado de t, cuando
x= 3t2 - t
t = 4
Para calcular las co-ordenadas, tenemos la siguiente relación
y – y1 = m (x – x1)
Aquí, vamos a calcular la pendiente de la ecuación y las co-ordenadas. El valor de x para t = 4, es
t = 4, x = 3 x 42 – 4
= 3 x 16 – 4
= 48 – 4
= 44
y el valor de y sería,
A partir de estos valores, deducimos que cuando t = 4, la tangente pasa por las coordenadas (44,2).
Ahora, para calcular la pendiente, m, que es dy/dx, tenemos que aplicar la fórmula de la regla de la cadena como:
dy/dx = (dy / dt) / (dx / dt)
dy/dt = 
Sin colocar el valor de t en ambos lados de la ecuación, obtenemos
= (¼) / (24 −1)
= (¼) / 23
= 1 / 92
Después de colocar los valores que hemos obtenido, conseguimos la ecuación para la tangentede la curva como de la manera que sigue
y – 2 = 1 / 92 (x - 44)

No comments:

Post a Comment